Экономико математические методы и модели анализа. Экономико-математические методы и модели

Экономико-математические методы и модели

Методически указания и контрольные задания для студентов

очной и заочной формы обучения.

г. Ставрополь 2007г.

Настоящее пособие предназначено для студентов экономических специальностей. Учебный план изучения курса рассчитан на 75 часов и предусматривает выполнение контрольной работы для заочной формы обучения.

В пособии приведены решения задач по темам, соответствующим учебному плану, даны необходимые методические указания и приведены задания для контрольной работы. Это пособие может быть использовано студентами очного и заочного отделения для самостоятельной работы и подготовки к зачёту.

Введение

В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов и моделей. Ни одно серьёзное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей и предприятий, распределения ресурсов, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического исследования конкретного процесса или его частей.

В этой связи изучение дисциплины «Экономико-математические методы и модели» направлено как на формирование у студентов понимания роли современной математики в экономике, так и на изучение наиболее важных экономико-математических методов исследования моделей и задач оптимизации.

Задачи данной дисциплины состоят в изучении математических методов СЭП, применения базовых методов математического моделирования СЭП при решении оптимизационных задач и выработке навыков решения трудоёмких прикладных экономико-математических задач с помощью компьютерных технологий.

Цель изучения данной дисциплины – подготовка специалиста экономического профиля к сознательному использованию математических методов исследования СЭП на основе соответствующих базовых моделей.

Изучение дисциплины предусматривает сочетание лекций, практических занятий и самостоятельную работу студентов. На лекциях излагается содержание дисциплины, проводится анализ основных математических понятий и методов. Практические занятия ориентированны на выработку у студентов умения и навыков решения типовых экономических задач. Руководствуясь принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением её прикладной экономической направленности, автором предлагаются наиболее экономически значимые задачи, представляющие самостоятельный интерес и дающие возможность относительно продуктивно освоить алгоритм их решения при отсутствии учебника.

После изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» студент должен:

Иметь представление о методах системного анализа и управления СЭП;

Знать основные понятия, определения и базовые математические методы, используемые для построения моделей СЭП;

Уметь проводить расчёты и делать оценки параметров для базовых математических моделей СЭП;

Уметь решать прикладные экономико-математические задачи, опираясь на базовые знания по математике,соответствующие Государственному образовательному стандарту.

Общие методические указания

Для более полного, уверенного освоения студентами навыков решения задач по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» предлагаются данные методические указания. Автор руководствовался общими целеполагающими принципами изучения данной дисциплины, а также принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов для понимания значимости построения и исследования математических моделей в экономике.

Приведённые методические указания могут быть использованы при проведении самостоятельных и контрольных работ, собеседований при сдаче зачёта.

При выполнении контрольной работы студентам заочного отделения необходимо руководствоваться следующими указаниями:

На обложке указываются фамилия и инициалы студента, полный шифр специальности, группа, дата регистрации, фамилия и инициалы преподавателя-рецензента;

Решение всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными; вычисления и чертежи – полными и аккуратными.

Номер контрольной работы соответствует последней цифре его учебного шифра.

Контрольная работа предоставляется в деканат не позднее 10 дней до начала сессии. При сдаче зачёта студент должен дать пояснения к решённым заданиям.

1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособ. / под ред. Н.Ш.Кремера./ – М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш. и др.; под ред. проф. Н.Ш.Кремера – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005. – 423 с.

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. М..: Высшая школа, 1986. - 319 с.

4. Морозов В.В., Сухарев А.Т., Фёдоров В.В. Исследование операций в примерах и задачах.: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.

6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.

7. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. – Спб: Питер, 2002. – 176 с.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов /В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. -391 с.

Глоссарий терминов.

Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значе­ний величин, соответствующих его частям при любом разбие­нии объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и элементов.

Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам мо­дели, которые для исследования считаются существенными.

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых, что часто значительно упрощает реше­ние задачи.

Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономики при раз­ных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.

Векторная оптимизация - решение задач математического программи­рования, в которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого являются в свою очередь различ­ные несводимые друг к другу критерии оптимальности подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социаль­ных групп в социально-экономическом планировании.

Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее по­ведения предположениям экспериментатора.

Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминиро­ванной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значе­ний, на ёе выходе могут получаться различающиеся между со­бой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Взаимозаменяемость ресурсов - возможность использования разных ресурсов для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Генетический прогноз («поисковый») - прогноз, показывающий, к каким состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных начальных условиях.

Глобальное моделирование или моделирование глобального разви­тия - область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологиче­ских процессов, охватывающих земной шар.

Градиентные методы решения задач математического программиро­вания - методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.

Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основан­ные на рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с последующим согласованием частых ре­шений для получения общего оптимального решения.

Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объ­ектов - в отличие от нормативных моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например, оптимального).

Детерминированная модель - аналитическое представление законо­мерности, операции и т. п., при которых для данной совокупно­сти входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упро­щением), так и детерминированную систему.

Детерминированная система - такая система, выходы которой (ре­зультаты действия, конечные состояния и т.п.) однозначно оп­ределяются оказанными на нее управляющими воздействиями.

Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты), изме­няющиеся во времени. Процесс изменения характеризуется тра­екторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является функцией времени).

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай ди­намических моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся урав­нения, характеризующие изменения отраслевых связей во вре­мени.

Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого решения, а затем при­меняют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучше­ние этого решения.

Итерация - повторное применение математической операции (с из­мененными данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (осо­бенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше тре­буется пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономи­ческого эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и вы­бора наилучшего из них (например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время дости­жения цели и т. д.)

Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балан­се - средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи сопряженных производств. Таким обра­зом, они складываются из прямых затрат каждой отрасли на данный продукт и косвенных затрат.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производ­ства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимо­стной (руб.).

Математическое программирование (оптимальное программирова­ние) - область математики, объединяющая различные матема­тические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирова­ние, выпуклое программирование и др. Общая задача матема­тического программирования состоит в нахождении оптималь­ного (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производст­во и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотрас­левом балансе, матричном плане предприятия и др.

Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью электронных вычислитель­ных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сна­чала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.

Межотраслевой баланс (МОБ ) - каркасная модель экономики, таб­лица, в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает ком­плексную характеристику процесса формирования и использова­ния совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основ­ных понятий линейного программирования. Это оценки про­дуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других терминов.

Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств, они в совокупности определя­ют область допустимых решений (допустимое множество). Рас­пространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются прямыми, вторые - кривыми линиями).

Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная инфор­мация о возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.

Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих вы­брать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определен­ных ограничений.

Оптимальное программирование - применение в экономике методов математического программирования.

Оптимальное управление - основное понятие математической тео­рии оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса, или, иначе, наилучшее поведение системы, ее разви­тие к цели по оптимальной траектории.

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения ка­кого-то критерия) распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимизационной модели методами математическо­го программирования.

Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; 2) про­цесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь - в теории массового обслуживания - последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслужива­ния занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) ка­налов или средств обслуживания.

Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз разви­тия, основанный на изучении статистических данных за про­шлый период и переносе выявленных закономерностей на буду­щее. При этом внешние факторы, воздействующие на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие осно­вывается только на собственных, внутренних тенденциях.

Предельные и приростные величины в экономике . Предельная вели­чина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение. Поскольку в экономике боль­шинство процессов (например, рост производства или измене­ние его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по каждому из факторов.

Прогнозирование - система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тен­денций развития народного хозяйства и поиск оптимальных пу­тей достижения целей этого развития.

Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары и услуги в целях лучшего обоснования соот­ветствующих производственных планов. Прогнозирование под­разделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и долгосрочное.

Производственная функция - экономико-математическое уравне­ние, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с ве­личинами продукции (выпуска). Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных фор­мах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма слож­ных систем уравнений, включающих рекуррентные соотноше­ния, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Широко распространены мультипли­кативные формы ПФ.

Равновесие - состояние экономической системы, которое характе­ризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких вели­чин. Распределение этих значений называется условным распределением у при дан­ном х. Множественная регрессия в определенных условиях по­зволяет исследовать влияние причинных факторов.

Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенно­му алгоритму. Примерами таких алгоритмов являются рекур­рентные формулы, выводящие вычисление заданного члена по­следовательности (чаще всего числовой) из вычисления не­скольких предыдущих ее членов.

Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах.

Стохастическая имитация - вид машинной имитации, отличающий­ся от детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.

Устойчивость решения - обычно, говоря об устойчивости решения задачи, имеют в виду, что малые изменения каких-либо характе­ристик, например, начальных условий, ограничений или целе­вого функционала, не приводят к качественному изменению ре­шения.

Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи.

Шкалы - системы чисел или иных элементов, принятых для оцен­ки или измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.

Практическое занятие.

Тема . Методы линейной алгебры в экономическом анализе.

Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, опирающиеся на базовую основу линейной алгебры.

1. Справочный материал.

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матрицы.

Задача 1. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задаёт объёмы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - соответственно во втором; (а ij , в ij) – объёмы продукции j –го типа на i –м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

; .

а) объёмы продукции;

б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ – курс доллара по отношению к рублю.

Решение:

а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц, т.е. С=А+В=, где с ij – объём продукции j-го типа, произведённый за полугодие i-м заводом.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц, т.е.

Д=В-А= . Отрицательные элементы показывают, что на данном заводе объём производства уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.

в) Произведение λC= λ(А+В) даёт выражение стоимости объёмов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.

Задача 2. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат . Пусть за определённый отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа , записанное матрицей .

Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени, если

, . Решение . Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц, т.е. S=AX.

, т.е за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса 1-го вида, 960 ед. ресурса 2-го вида, 450 ед. ресурса 3-го вида, 630 ед. ресурса 4-го вида.

Задача 3. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат хорошо работать в 80% случаев. Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?

Решение.

В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6, а доля требующих регулировки – 0,4. Через месяц доля хороших составит: 0,6 . 0,8+0,4 . 0,35=0,62. Доля требующих регулировки: 0,6 . 0,2+0,4 . 0,65=0,38. введём строку состояния X t в момент t; X t =(x 1 t ; x 2 t), где x 1 t – доля хороших двигателей, x 2 t – доля двигателей, требующих регулировки в момент t.

Матрица перехода , где - доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии (1- «хороший», 2- «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии .

Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы неотрицательны.

Очевидно, =(0,6 0,4), .

Тогда через месяц ,

через 2 месяца ; через 3 месяца .

Найдём матрицы ;

Отметим, что если - матрица перехода, то - тоже матрица перехода при любом натуральном t. Теперь

,

Очевидно, .

Задача 3. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: а) в минувшем году; б) в текущем году?

Решение.

Пусть и - прибыли первого и второго отделений в минувшем году. тогда условие задачи можно записать в виде системы: Решив систему, получим Следователь, а) прибыль в минувшем году первого отделения -4 млн. усл. ед., а второго – 8 млн. усл. ед.; б) прибыль в этом году первого отделения 1,7 . 4=6,8 млн. усл. ед., второго 1,4 . 8=11,2 млн. усл. ед.

2.1. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А 1, А 2 , А 3 ; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В 1 и В 2 и проанализировать результаты:

; ; .

2.2. Предприятие производит мебель трёх видов и продаёт её в четырёх регионах. Матрица задаёт цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц задана матрицей .

2.3 . По условию задачи 2 определить:1) полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей и объём выпуска каждого из двух типов продукции ;

2) стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса .

2.4 . В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70 % которых требуют малого ремонта, 20 % - среднего ремонта, 10% - сложного ремонта. Статистически установлено, что 10% аппаратов прошедших малый ремонт, через год требуют малого ремонта, 60% - среднего, 30% -сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20% требуют через год малого ремонта, 50% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60% требуют малого ремонта, 40% - среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать ремонта того или иного вида: через 1 год; 2 года;3 года.

Практическое занятие.

Тема . Методы математического анализа для построения моделей СЭП.

Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, в которых применяются методы математического анализа.

1. Справочный материал.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используемые в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтения) – зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объёма продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Кроме геометрического и механического существует ещё и экономический смысл производной. Во-первых, производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент . Во-вторых, существует ещё одно понятие, характеризующее экономический смысл производной. Если издержки производства y рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x , - прирост продукции, - приращение издержек производства, а - среднее приращение издержек производства на единицу продукции, тогда производная равная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё, топливо ит.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, то есть изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных ит.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно предельные величины.

Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при :

. (1)

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция y = f ( x ) при изменении независимой переменной x на 1%. Это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой.

Отметим свойства эластичности функции.

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции , т.е. .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: , .

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x – коэффициент, определяемый по формуле (1) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если - нейтральным, если - неэластичным относительно цены (или дохода).

В практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими задачам, которые рационально решать методами математического анализа. Это задачи на нахождение объёма продукции при известном значении прибыли, определении уровня потребления товаров при известном доходе, определение момента времени рентабельности производства, определение размеров вклада при известных начальных вложениях и т.п.

Задача 1. Издержки y (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле , где - объём партии. Для первого варианта технологического процесса . Для второго варианта известно, что (руб.) при (дет.) и (руб.) при (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при (дет.)

Решение .

Для второго варианта определяем параметры и из системы уравнений:

откуда и , т.е. .

Точка (х 0 ,y 0) пересечения двух прямых находится из системы их уравнений:

откуда , .Очевидно, при объёме партии выгоднее второй вариант технологического процесса, при - первый вариант. Себестоимость продукции (руб.) при по первому варианту составляет , а по второму - .

Задача 2. Постоянные издержки составляют 125 тыс.руб. в месяц, а переменные издержки - 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объём продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс.руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства единиц продукции составят: (тыс.руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс.руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).

б) Прибыль (тыс.руб.), т.е. при (ед.).

Задача 3. Продолжительность выполнения (мин.) при повторных операциях связана с числом этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при , а при .

Решение . Найдём параметры и , учитывая, что , . Получаем систему: решая которую найдём , .

Итак, при , (мин.)

Задача 4. Объём продукции u, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед.), , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной (ед./час), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной : (ед./ч 2),

(ед./ч).

В заданные моменты времени и соответственно имеем: z(t)=112,5 (ед./ч), z’(t)=-20(ед./ч 2), T z (7)=-0,24 (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и T z (t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Задача 5. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара.

Найти: а) равновесную цену, т.е.цену при которой спрос равен предложению;

б) эластичность спроса и предложения для этой цены;

в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение. а) Равновесная цена находится из условия q = s , тогда , откуда p = 2, т.е равновесная цена 2 ден.ед.

б) Найдём эластичность по спросу и предложению по формуле (1)

; . Для равновесной цены p =2 имеем ; . Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5 . 0,3=1,5%, следовательно, доход возрастёт на 3,5%.

Задача 6. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение. Функция средних издержек выражается соотношением ; при x = 10средние издержки (на единицу продукции) равны (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной ; при x = 10 предельные издержки составят (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) , составляют 35 ден.ед.

Задача 7. Выяснить, чему равны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?

Решение . Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией , где x – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты y 1 на производство единицы продукции . Эластичность частного двух функции равна разности их эластичностей, т.е. .

По условию , следовательно, . Это означает, что с изменением объёма продукции средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е., откуда .

предельные издержки предприятия определяются производной . Итак, т.е предельные издержки равны средним издержкам(полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).

2. Задания для самостоятельной работы.

2.1. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются уравнениями: и , где - расстояния в сотнях километров, - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

2.2. Зная, что изменение объёма производства с изменением производительности труда происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при =3 =185, а при =5 =305. Определить объём производства при =20.

2.3 . Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

2.4. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.

2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.

Указание. Размер вклада через t лет определяется по формуле , где p -процентная ставка за год, Q 0 –первоначальный вклад.

2.6. Затраты на производство продукции (тыс.руб.) выражаются уравнением , где -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением . Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.

Практическое занятие.

Тема. Предельный анализ экономических процессов.

Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.

1.Справочный материал.

Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль , где D ( x ) - доход от производства x единиц продукта.

Средние издержки A ( x ) при производстве x единиц продукта есть .Предельные издержки .

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение x единиц продукта, при котором прибыль P ( x ) оказывается наибольшей.

Задача 1. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A ( x ) . В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки принимают минимальное значение при x =10. Предельные издержки . При установившейся цене оптимальное значение P ( x ) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: , т.е. 4=M ( x ) , откуда . Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 p =14 , если известен вид функции издержек .

Решение . По формуле прибыли получаем, .

Находим производную прибыли по объёму: , тогда х опт = 2.

Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р =10,5 и функция издержек имеет вид.

Решение . Находим значение прибыли .

Производная прибыли по объёму имеет вид: . Тогда , . .

2. Задания для самостоятельной работы .

2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =8 и известен вид функции издержек .

2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек .

2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу . Определить оптимальное для монополии значение выпуска x 0 (предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид .

2.4 Функция издержек имеет вид . Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р =37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?

Задания для контрольной работы.

Задача 1.

Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.

Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;

2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту

максимальную выручку.

Построить график зависимостей.

Задача 2.

Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности . Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.

Проверить: 1) равновесно ли положение;

2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:

Задача 3.

Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.

Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.

№ варианта	1 задание	2 задание	3 задание
1		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
2		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
3		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
4		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
5		(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)
6		(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)
7		(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
8		(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)
9		(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
10		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
11		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
12		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
13		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
14		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
15		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
16		(4,2,3), (4,3,4),
17		(3,2,3), (4,3,4),
18		(3,2,3), (2,4,6),
19

Экономико-математические методы в настоящее время широко используются и являются важным направлением в совершенствовании анализа деятельности хозяйствующих субъектов, а также их подразделений. Этого можно достигнуть за счет уменьшения сроков выполнения исследования, глубокой характеристики факторов, а также за счет замены сложных вычислений более простыми. Кроме того, в процессе ставятся и решаются многомерные задачи, которые выполнить традиционными методами или вручную просто невозможно.

Математические экономики требуют:

1) системности подходов в изучении экономической деятельности предприятий, а также учета всех взаимосвязанных направлений в различных сферах хозяйствования организации;

2) разработать комплекс которые отражают характеристику поставленных задач и процессов в количественном выражении;

3) усовершенствовать систему подачи информации об экономической деятельности предприятия;

4) наличия автоматизированных систем, которые отвечают за обработку, хранение и передачу данных, необходимых для применения методов;

5) организации специально подготовленного персонала, который будет состоять из , экономистов, операторов и т.д.

Поставленная задача может быть сформулирована соответствующим образом и решена, используя экономико-математические методы. Также широко распространена статистика. Ее методы применяются в случае, когда анализируемые показатели изменяются в случайном порядке. помогают для которых необходим прогноз.

Применение математики в экономике обусловлено повышением эффективности анализа деятельности предприятия за счет того, что используется расширение изучаемых факторов и обоснование принимаемых решений. Также происходит выбор наилучших вариантов использования ресурсов и выявление резервов для повышения результативности производства и выработки труда.

Экономико-математические методы можно условно разделить на 4 группы:

1) точные оптимизационные;

2) приближенные;

3) точные не оптимизационные;

4) приближенные.

Применение этих способов для анализа деятельности предприятия помогает получить ясное представление об исследуемом объекте, количественно описать и охарактеризовать его внешние связи и внутреннюю структуру. Экономико-математические методы используются в первую очередь в моделировании. Образец, который в итоге получается, представляет собой модель Субъект управления создает ее с отображением характеристик: свойств, взаимосвязей, структурных и функциональных параметров объекта и т.д.

К сожалению, в экономико-математическом моделировании может возникнуть ситуация, когда изучаемый объект имеет сложную структуру. Вследствие этого сложно создать образец, который охватит все особенности исследуемой системы. Примером может служить экономика хозяйствующего субъекта в целом.

Все модели, которые человек использует в различных сферах своей деятельности, условно можно поделить на две группы: материальные и абстрактные. Первые являются объективными, их можно реально потрогать руками. Вторые же существуют только в человеческом сознании. В рамках данной статьи будут рассмотрены лишь математические методы и модели в экономике. Они применяются для анализа процессов и явлений, происходящих в этой сфере. Их использование позволяет ставить новые экономические задачи. Благодаря ним руководство принимает решения, касающиеся управления организацией, фирмой, предприятием.

Математические операций в экономике являются самым эффективным инструментом изучения проблем в данной области. В современной научной и технической деятельности они становятся немаловажной формой моделирования. А в практике планирования и управления этот способ - основной.

Экономико-математические методы и модели являются той базой, на основе которой реализуются различные программы, изначально предназначенные для решения задач планирования, анализа и управления. Вместе с техническими средствами, с базами данных они входят в состав человеко-машинной системы. Она позволяет использовать модели и знания для решения разного рода проблем (как неконструктурированных, так и слабоконструктурированных).

В зависимости от критериев, которые лежат в основе деления, экономико-математические методы и модели классифицируются следующим образом.

1. По цели они бывают:

Прикладные, то есть с их помощью решаются конкретные задачи;

Теоретико-аналитические (они применяются, когда нужно исследовать общие закономерности и признаки развития процессов, происходящих в экономике).

2. По тому, какие причинно-следственные связи они отражают:

Детерминированные;

Вероятностные (учитывают фактор возникающей неопределенности).

3.По уровню тех процессов в экономике, которые они исследуют:

Производственные и технологические;

Социально-экономические.

4. По тому способу, которым отражается фактор времени:

Динамические, по ним видны происходящие изменения;

Статические, все зависимости здесь отражают лишь один период времени или момент.

5. По уровню детализации:

Макромодели (агрегированные);

Микромодели (детализированные).

6. По форме, в которой выражаются математические зависимости:

Нелинейные;

Линейные - их очень удобно использовать для вычисления и анализа, что привело к их более широкому распространению.

Экономико-математические методы и модели имеют и свои принципы построения. К ним относятся:

1. Принцип однозначности данных. Согласно ему информация, которая используется в начале моделирования, не должна зависеть от тех параметров будущей системы, которые на данном этапе исследования еще даже неизвестны.

2. Принцип полноты первоначальных сведений. Он означает, что используемая исходная информация должна быть очень точной, так как от нее зависят полученные результаты.

3. Принцип преемственности. Он говорит о том, что те признаки объекта, которые были отражены или установлены в первых моделях, должны сохраняться и в каждой последующей.

4. Принцип эффективной реализации. Каждая модель должна использоваться на практике. В ее реализации должны помогать новейшие вычислительные средства.

Экономико-математические методы и модели всегда строятся в несколько этапов:

1) Определение проблемы, ее анализ.

2) Конструирование Это ее выражение в виде функций, схем, уравнений.

3) Анализ полученной модели с помощью математических приемов.

4) Подготовка первоначальной информации.

5) Это уже собственно разработка программ, составление алгоритмов и проведение расчетов.

6) Анализ полученных результатов, их практическое применение.

Каждый из этих этапов может иметь свою специфику в зависимости от рассматриваемой области знаний.

ЛЕКЦИИ

По дисциплине:

Экономико-математические

методы и модели

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАЦНЕВ А.П.

Москва 2004 год

1. Моделирование экономических систем.

Основные понятия и определения

1.1. Возникновение и развитие системных представлений

1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей

1.3. Виды подобия моделей

1.4. Адекватность моделей

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА

2.1. Понятие операционного исследования

2.2. Классификация и принципы построения математических моделей

3. Некоторые сведения из математики

3.1. Выпуклые множества

3.2. Линейные неравенства

3.3. Значения линейной формы на выпуклом множестве

4. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

4.1. Транспортная задача

4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования

4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

5.1. Общая и основная задачи линейного программирования

5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования

5.3. Графическое решение задачи распределения ресурсов

5.4. Симплексный метод

5.5. Анализ симплекс-таблиц

5.6. Решение транспортных задач

6. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

6.1. Постановка задачи нелинейного программирования

6.2. Постановка задачи динамического программирования

Основные условия и область применения

6.3. Многокритериальная оптимизация

1. Моделирование экономических систем.

Основные понятия и определения.

1.1. Возникновение и развитие системных представлений

Научно-техническая революция привела к возникновению таких понятий, как большие и сложные экономические системы , обладающие специфическими для них проблемами. Необходимость решения таких проблем привела к появлению особых подходов и методов, которые постепенно накапливались и обобщались, образуя, в конце концов, особую науку - системный анализ.

В начале 80-х годов системность стала не только теоретической категорией, но и осознанным аспектом практической деятельности. Широко распространилось понятие того, что наши успехи связаны с тем, насколько системно мы подходим к решению возникающих проблем, а наши неудачи вызваны отсутствием системности в наших действиях. Сигналом о недостаточной системности в нашем подходе к решению какой-либо задачи является появление проблемы, разрешение же возникшей проблемы происходит, как правило, при переходе на новый, более высокий, уровень системности нашей деятельности. Поэтому системность не только состояние, но и процесс.

В различных сферах человеческой деятельности возникли различные подходы и соответствующие методы решения специфических проблем, которые получили различные названия: в военных и экономических вопросах - «исследование операций» , в политическом и административном управлении - «системный подход» , в философии «диалектический материализм» , в прикладных научных исследованиях - «кибернетика» . Позже стало ясно, что все эти теоретические и прикладные дисциплины образуют как бы единый поток, «системное движение», которое постепенно оформилось в науку, получившую название «системный анализ». В настоящее время системный анализ является самостоятельной дисциплиной, имеющей свой объект деятельности, свой достаточно мощный арсенал средств и свою прикладную область. Являясь по существу прикладной диалектикой, системный анализ использует все средства современных научных исследований - математику, моделирование, вычислительную технику и натурные эксперименты.

 Самая интересная и сложная часть системного анализа - это «вытаскивание» проблемы из реальной практической задачи, отделение важного от несущественного, поиск правильной формулировки для каждой из возникающих проблем, т.е. то, что называется «постановкой задачи».

Многие довольно часто недооценивают работу, связанную с формулировкой задачи. Однако многие специалисты полагают, что «хорошо поставить задачу - значит на половину ее решить». Хотя в большинстве случаев заказчику кажется, что он уже сформулировал свою проблему, системный аналитик знает, что предлагаемая клиентом постановка задачи является моделью его реальной проблемной ситуации и неизбежно имеет целевой характер, оставаясь приблизительной и упрощенной. Поэтому необходимо проверить эту модель на адекватность, что приводит к развитию и уточнению первоначальной модели. Очень часто первоначальная формулировка изложена в терминах не тех языков, которые необходимы для построения модели.

1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей

Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в определенном смысле заменяет человека, являясь моделью человеческой фигуры. Древние философы считали, что отобразить природу можно только с помощью логики и правильных рассуждений, т.е. по современной терминологии с помощью языковых моделей. Через несколько столетий девизом английского Научного общества стал лозунг: «Ничего словами!», признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками.

В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:

теоретическое исследование;

 эксперимент;

 моделирование.

 Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества:

- дешевизну;

- наглядность;

- легкость оперирования и т.п.

 В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй.

Paзвитие понятия модели вышло за пределы математических моделей и стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире. Поскольку модели играют чрезвычайно важную роль в организации любой деятельности человека их можно разделить на познавательные (когницитивные) и прагматические , что соответствует делению целей на теоретические и практические .

 Познавательная модель ориентирована на приближении модели к реальности, которую эта модель отображает. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели.

 Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. Поэтомy при обнаружении расхождения между моделью и реальностью надо направить усилия на изменение реальности так, чтобы приблизить реальность к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль образца, под который подгоняется действительность. Примерами прагматических моделей служат планы, кодексы законов, рабочие чертежи и т.д.

Другим принципом классификации целей моделирования может служить деление моделей на статические и динамические .

 Для одних целей нам может понадобиться модель конкретного состояния объекта в определенный момент времени, своего рода «моментальная фотография» объекта. Такие модели называются статическими . Примером являются структурные модели систем.

 В тех же случаях, когда возникает необходимостъ в отображении процесса изменения состояний, требуются динамические модели систем.

В распоряжении человека имеется два типа материалов для построения моделей - средства самого сознания и средства окружающею материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные .

 Очевидно, что к абстрактным моделям относятся языковые конструкции и математические модели. Математические модели обладают наибольшей точностью, но чтобы дойти до их использования в данной области, необходимо получить достаточное количество знаний. По мнению Канта, любая отрасль знания может тем более именоваться наукой, чем в большей степени в ней используется математика.

1.3. Виды подобия моделей

Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть моделью, т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между оригиналом и моделью должно быть установлено отношение подобия. Существуют разные способы установления такого подобия, что придает моделям особенности, специфичные для каждого способа.

 Прежде всего, это подобие, устанавливаемое в процессе создания модели. Назовем такое подобие прямым . Примером такого подобия являются фотографии, масштабированные модели самолетов, кораблей, макеты зданий, выкройки, куклы и т.д.

Следует помнить, что как бы хороша ни была модель, она все-таки лишь заменитель оригинала, только в определенном отношении. Даже тогда, когда модель прямого подобия выполнена из того же материала, что и оригинал, т.е. подобна ему субстратно, возникают проблемы переноса результатов моделирования на оригинал. Например, при испытании уменьшенной модели самолета в аэродинамической трубе задача пересчета данных модельного эксперимента становится нетривиальной и возникает разветвленная, содержательная теория подобия, позволяющая привести в соответствие масштабы и условия эксперимента, скорость потока, вязкость и плотность воздуха. Трудно достигается взаимозаменяемость модели и оригинала в фотокопиях произведений искусства, голографических изображениях предметов искусства.

 Второй тип подобия между моделью и оригиналом называется косвенным . Косвенное подобие между оригиналом и моделью объективно существует в природе и обнаруживается в виде достаточной близости или совпадения их абстрактных математических моделей и вследствие этого широко используется в практике реального моделирования. Наиболее характерным примером может служить электромеханическая аналогия между маятником и электрическим контуром.

Оказалось, что многие закономерности электрических и механических процессов описываются одинаковыми уравнениями, различие состоит в разной физической интерпретации переменных, входящих в это уравнение. Роль моделей, обладающих косвенным подобием, очень велика и роль аналогий (моделей косвенного подобия) в науке и практике трудно переоценить. Аналоговые вычислительные машины позволяют найти решение почти всякого дифференциального уравнения, представляя собой, таким образом, модель, аналог процесса, описываемого этим уравнением. Использование электронных аналогов в практике определяется тем, что электрические сигналы легко измерить и зафиксировать, что дает известные преимущества модели.

 Третий, особый класс моделей составляют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения . Такое подобие называется условным. С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто, поскольку они являются способом материального воплощения абстрактных моделей. Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), удостоверение личности (модель владельца), всевозможные сигналы (модели сообщения).

1. Экономико-математические методы, применяемые в анализе хозяйственной деятельности

Список использованных источников

1. Экономико-математические методы, применяемые в анализе хозяйственной деятельности

Одним из направлений совершенствования анализа хозяйственной деятельности является внедрение экономико-математических методов и современных ЭВМ. Их применение повышает эффективность экономического анализа за счет расширения изучаемых факторов, обоснования принимаемых управленческих решений, выбора оптимального варианта использования хозяйственных ресурсов, выявления и мобилизации резервов повышения эффективности производства.

Математические методы опираются на методологию экономико-математического моделирования и научно обоснованную классификацию задач анализа хозяйственной деятельности. В зависимости от целей экономического анализа различают следующие экономико-математические модели: в детерминированных моделях - логарифмирование, долевое участие, дифференцирование; в стохастических моделях - корреляционно-регрессивный метод, линейное программирование, теорию массового обслуживания, теорию графов и др.

Стохастический анализ - это метод решения широкого класса задач статистического оценивания. Он предполагает изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямых связях, в прямой взаимозависимости и взаимообусловленности. Стохастическая связь существует между случайными величинами и проявляется в том, что при изменении одной из них меняется закон распределения другой.

В экономическом анализе выделяются следующие наиболее типичные задачи стохастического анализа:

Изучение наличия и тесноты связи между функцией и факторами, а также между факторами;

Ранжирование и классификация факторов экономических явлений;

Выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями;

Сглаживание динамики изменения уровня показателей;

Выявление параметров закономерных периодических колебаний уровня показателей;

Изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений;

Количественное изменение информативных показателей;

Количественное изменение влияния факторов на изменение анализируемых показателей (экономическая интерпретация полученных уравнений).

Стохастическое моделирование и анализ связей между изученными показателями начинаются с корреляционного анализа. Корреляция состоит в том, что средняя величина одного из признаков изменяется в зависимости от значения другого. Признак, от которого зависит другой признак, принято называть факторным. Зависимый признак именуют результативным. В каждом конкретном случае для установления факторного и результативного признаков в неодинаковых совокупностях необходим анализ природы связи. Так, при анализе различных признаков в одной совокупности заработная плата рабочих в связи с их производственным стажем выступает как результативный признак, а в связи с показателями жизненного уровня или культурными потребностями - как факторный. Часто зависимости рассматривают не от одного факторного признака, а от нескольких. Для этого применяется совокупность методов и приемов выявления и количественной оценки взаимосвязей и взаимозависимостей между признаками.

При исследовании массовых общественно-экономических явлений между факторными признаками проявляется корреляционная связь, при которой на величину результативного признака влияет, помимо факторного, множество других признаков, действующих в разных направлениях одновременно или последовательно. Часто корреляционную связь называют неполной статистической или частичной в отличие от функциональной, которая выражается в том, что при определенном значении переменной (независимая переменная - аргумент) другая (зависимая переменная - функция) принимает строгое значение.

Корреляционную связь можно выявить только в виде общей тенденции при массовом сопоставлении фактов. Каждому значению факторного признака будет соответствовать не одно значение результативного признака, а их совокупность. В этом случае для вскрытия связи необходимо найти среднее значение результативного признака для каждого значения факторного.

Если зависимость прямолинейная:

Значения коэффициентов а и b находится из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов по формуле:

N - число наблюдений.

В случае прямолинейной формы связи между изучаемыми показателями коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент детерминации.

Дисконтирование - это процесс пересчета будущей стоимости капитала, денежных потоков или чистого дохода в настоящую. Ставка, по которой производится дисконтирование, называется ставкой дисконтирования (ставкой дисконта). Основная посылка, лежащая в основе понятия дисконтированного потока реальных денег, состоит в том, что деньги имеют временную цену, то есть сумма денег, имеющаяся в наличии сегодня, обладает большей ценностью, чем такая же сумма в будущем. Эта разница может быть выражена как процентная ставка, характеризующая относительные изменения за определенный период (обычно равный году).

Многие задачи, с которыми приходится сталкиваться экономисту в повседневной практике при анализе хозяйственной деятельности предприятий, многовариантны. Так как не все варианты одинаково хороши, среди множества возможных приходится отыскивать оптимальный. Значительная часть подобных задач на протяжении долгого времени решалась исходя из здравого смысла и опыта. При этом не было никакой уверенности, что найденный вариант является наилучшим.

В современных условиях даже незначительные ошибки могут привести к огромным потерям. В связи с этим возникла необходимость привлечения к анализу и синтезу экономических систем оптимизационных экономико-математических методов и ЭВМ, что создает основу для принятия научно обоснованных решений. Такие методы объединяются в одну группу под общим названием "оптимизационные методы принятия решений в экономике". Чтобы решить экономическую задачу математическими методами, прежде всего, необходимо построить адекватную ей математическую модель, то есть формализовать цель и условия задачи в виде математических функций, уравнений и (или) неравенств.

В общем случае математическая модель оптимизационной задачи имеет вид:

max (min): Z = Z(x),

при ограничениях

f i (x) Rb i , i = ,

где R - отношения равенства, меньше или больше.

Если целевая функция и функции, входящие в систему ограничений, линейны относительно входящих в задачу неизвестных, такая задача называется задачей линейного программирования. Если же целевая функция или система ограничений не линейна, такая задача называется задачей нелинейного программирования.

В основном, на практике, задачи нелинейного программирования путем линеаризации сводятся к задаче линейного программирования. Особый практический интерес среди задач нелинейного программирования представляют задачи динамического программирования, которые из-за своей многоэтапности нельзя линеаризовать. Поэтому мы рассмотрим только эти два вида оптимизационных моделей, для которых сегодня имеется хорошее математическое и программное обеспечение.

Метод динамического программирования представляет собой особый математический прием оптимизации нелинейных задач математического программирования, который специально приспособлен к многошаговым процессам. Многошаговым обычно считают процесс, развивающийся во времени и распадающийся на ряд "шагов", или "этапов". При этом метод динамического программирования используется и для решения задач, в которых время не фигурирует. Некоторые процессы распадаются на шаги естественным образом (например, процесс планирования хозяйственной деятельности предприятия на отрезок времени, состоящий из нескольких лет). Многие процессы можно расчленить на этапы искусственно.

Суть метода динамического программирования состоит в том, что вместо поиска оптимального решения сразу для всей сложной задачи предпочитают находить оптимальные решения для нескольких более простых задач аналогичного содержания, на которые расчленяется исходная задача.

Метод динамического программирования также характеризуется тем, что выбор оптимального решения на каждом шаге должен производиться с учетом последствий в будущем. Это означает, что, оптимизируя процесс на каждом отдельном шаге, ни в коем случае нельзя забывать обо всех последующих шагах. Таким образом, динамическое программирование - это дальновидное планирование с учетом перспективы.

Принцип выбора решения в динамическом программировании является определяющим и носит название принципа оптимальности Беллмана. Сформулируем его следующим образом: оптимальная стратегия обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, принятое в начальный момент, последующие решения должны вести к улучшению ситуации относительно состояния, являющегося результатом первоначального решения.

Таким образом, при решении оптимизационной задачи методом динамического программирования необходимо на каждом шаге учитывать последствия, к которым приведет в будущем решение, принимаемое в данный момент. Исключением является последний шаг, которым заканчивается процесс. Здесь можно принимать такое решение, чтобы обеспечить максимальный эффект. Спланировав оптимальным образом последний шаг, можно "пристраивать" к нему предпоследний так, чтобы результат этих двух шагов был оптимальным, и т.д. Именно таким образом - от конца к началу - можно развернуть процедуру принятия решений. Оптимальное решение, найденное при условии, что предыдущий шаг закончился определенным образом, называют условно-оптимальным решением.

Статистическая теория игр является составной частью общей теории игр, которая представляет собой раздел современной прикладной математики, изучающий методы обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях. В теории статистических игр различают такие понятия, как исходная стратегическая игра и собственно статистическая игра. В этой теории первого игрока называют "природой", под которой понимают совокупность обстоятельств, в условиях которой приходится принимать решения второму игроку - "статистику". В стратегической игре оба игрока действуют активно, предполагая, что противник - "разумный" игрок. Для стратегической игры характерна полная неопределенность в выборе стратегии каждым игроком, то есть игроки ничего не знают о стратегиях друг друга. В стратегической игре оба игрока действуют на основе детерминированной информации, определенной матрицей потерь.

В собственно статистической игре природа не является активно действующим игроком в том смысле, что она "не разумна" и не пытается противодействовать максимальному выигрышу второго игрока. Статистик (второй игрок) в статистической игре стремится выиграть игру у воображаемого противника - природы. Если в стратегической игре игроки действуют в условиях полной неопределенности, то для статистической игры характерна частичная неопределенность. Дело в том, что природа развивается и "действует" в соответствии со своими объективно существующими законами. У статистика есть возможность постепенно изучать эти законы, например, на основе статистического эксперимента.

Теория массового обслуживания - прикладная область теории случайных процессов. Предметом ее исследования являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, где в случайные (или не в случайные) моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства (каналы) выполнения заявок. Теория массового обслуживания исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания, качества функционирования систем, где случайными могут быть как моменты появления требований (заявок), так и затраты времени на их исполнение.

Система массового обслуживания находит применение в решении следующих задач: например, тогда, когда в массовом порядке поступают заявки (требования) на обслуживание с последующим их удовлетворением. На практике это могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации и др.

Балансовая модель - это система уравнений, характеризующих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денежном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов (продуктов) и потребность в них количественно совпадают. В основу решения таких моделей положены методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называют матричными методами анализа. Наглядность изображений различных экономических процессов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных производственно-хозяйственных ситуациях.

Математическая теория нечетких множеств, разработанная в 60-е годы XX столетия, сегодня все шире применяется в финансовом анализе деятельности предприятия, включающем анализ и прогноз финансового положения предприятия, анализ изменений оборотного фонда, потоков свободных денежных средств, экономического риска, оценки влияния затрат на прибыль, расчета стоимости капитала. В основе данной теории лежат понятия "нечеткое множество" и "функции принадлежности".

В общем случае решение задач такого типа довольно громоздко, так как имеет место большой объем информации. Практическое использование теории нечетких множеств позволяет развивать традиционные методы финансово-хозяйственной деятельности, адаптировать их к новым потребностям учета неопределенности в будущем основных показателей деятельности предприятий.

Задача 1

По приведенным данным о численности персонала промышленного предприятия рассчитать коэффициент оборота по приему и выбытию рабочих и коэффициент текучести. Сделать выводы.

Решение:

Определим:

1) коэффициент по приему (К пр):

Прошлый год: Кпр = 610 / (2490 + 3500) = 0,102

Отчетный год: Кпр. = 650 / (2539 + 4200) = 0,096

В отчетном году коэффициент внешнего оборота по принятию уменьшился на 0,006 (0,096 - 0,102).

2) коэффициент по увольнению (выбытию) работников (К ув):

Прошлый год: Квыб. = 690 / (2490 + 3500) = 0,115

Отчетный год: Квыб. = 725 / (2539 + 4200) = 0,108

В отчетном году коэффициент внешнего оборота по выбытию также снизился на 0,007 (0,108 - 0,115).

3) коэффициент текучести кадров (К тек):

Прошлый год: Ктек. = (110 + 30) / (2490 + 3500) = 0,023

Отчетный год: Ктек. = (192 + 25) / (2539 + 4200) = 0,032

В отчетном году коэффициент текучести кадров также вырос на 0,009 (0,032 - 0,023), что является отрицательной тенденцией в движении кадров.

4) коэффициент общего оборота рабочей силы (К об):

Прошлый год: Коб = (610 + 690) / (2490 + 3500) = 0,217

Отчетный год: Коб. = (650 + 725) / (2539 + 4200) = 0,204

Коэффициент общего оборота рабочей силы снизился на 0,013 (0,204 - 0,217).

Задача 2

Составить исходную модель объема продукции. Определить тип факторной модели. Рассчитать влияние факторов на изменение объема продукции всеми известными приемами.

Решение:

Результативный показатель - фондоотдача.

Исходная математическая модель:

ФО = ВП / ОФ.

Тип модели - кратный. Общее количество используемых для расчета результативных показателей - 3, т. к. рассчитывается влияние 2-х факторов (2 + 1 = 3). Количество условных результативных показателей - 1, т. к. оно равно количеству факторов минус 1.

Для данной модели применимы следующие приемы: цепной подстановки, индексный и интегральный.

1. Рассчитаем уровень влияния факторов изменения результативного показателя способом цепной подстановки.

Алгоритм решения:

ФО пл = ВП пл /ОФ пл = 20433 / 2593 = 7,88 руб.

ФО усл1 = ВП ф /ОФ пл =20193 / 2593 = 7,786 руб.

ФО ф = ВП ф /ОФ ф =20193 / 2577 = 7,836 руб.

Расчет факторов, повлиявших на изменение фондоотдачи, оформим в таблице.

№ фак-торов	Название факторов	Расчет уровня влияния факторов	Уровень влияния факторов изменения общей суммы прибыли
	Измените фондоотдачи за счет изменения объема продукции	7,786-7,88 =-0,094
	Измените фондоотдачи за счет изменения основных фондов	7,836-7,786 = 0,05
	ИТОГО (балансовая увязка)

2. Рассчитаем уровень влияния факторов изменения результативного показателя интегральным способом.

ВП = ВП ф - ВП пл = 20193 - 20433 = -240;

ОФ = ОФ ф - ОФ пл = 2577 - 2593 = -16.

ФО пл = 20433 / 2593 = 7,88 руб.

ФО ф = 20193 / 2577 = 7,836 руб.

ФО вп = = 15 ln|0,99| = -0,09284

ФО оф = ?ФО общ - ?ФО вп = (7,836-7,88) - (-0,09284) = 0,04884

3. Рассчитаем уровень влияния факторов изменения результативного показателя индексным способом.

I ФО = I ВП I ОФ.

I ФО = (ВП ф / ОФ ф) : (ВП пл / ОФ пл) = 7,836/7,88 = 0,99

I ВП = (ВП ф / ОФ пл) : (ВП пл / ОФ пл) = 7,786 /7,88 = 0,988

I ОФ = (ВП ф / ОФ ф) : (ВП ф / ОФ пл) = 7,836/7,786 = 1,006

I ФО = I ВП I ОФ = 0,988 1,006 = 0,99.

Если из числителя вышеприведенных формул вычесть знаменатель, то получим абсолютные приросты фондоотдачи в целом и за счет каждого фактора в отдельности, т. е. те же результаты, что и способом цепной подстановки.

Задача 3

Определить каким будет средний уровень урожайности, если количество внесенных удобрений составит 20 ц. Определить тесноту связи между показателем "у" и фактором "х".

Дано: Уравнение регрессии

где у - среднее изменение урожайности, ц /га

х - количество внесенных удобрений, ц.

Коэффициент детерминации - 0,92.

Решение:

Средний уровень урожайности равен 62 ц /га.

Регрессионный анализ своей целью имеет вывод, определение (идентификацию) уравнения регрессии, включая статистическую оценку его параметров. Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой переменной, если величина независимой или независимых переменных известна.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы (-1 < R x, y <1). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации. Коэффициент корреляции R для данной выборки равен 0,9592 (). Чем он ближе к единице, тем теснее связь между признаками. В данном случае связь очень тесная, почти абсолютная корреляция. Коэффициент детерминации R 2 равен 0,92. Это означает, что уравнение регрессии определяется на 92 % дисперсией результативного признака, а на долю сторонних факторов приходится 8 %.

Коэффициент детерминации показывает долю разброса, учитываемого регрессией, в общем разбросе результативного признака. Этот показатель, равный отношению факторной вариации к полной вариации признака, позволяет судить о том, насколько "удачно" выбран вид функции. Чем больше R 2 , тем больше изменение факторного признака объясняет изменение результативного признака и тем, следовательно, лучше уравнение регрессии, лучше выбор функции.

Список использованных источников

Анализ хозяйственной деятельности предприятия: Учеб. пособие/ Под общ. ред. Л. Л. Ермолович. - Мн.: Интерпрессервис; Экоперспектива, 2001. - 576 с.

Савицкая Г. В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия, 7-е изд., испр. - Мн.: Новое знание, 2002. - 704 с.

Савицкая Г. В. Теория анализа хозяйственной деятельности. - М.: Инфра-М, 2007.

Савицкая Г. В. Экономический анализ: Учеб. - 10-е изд., испр. - М.: Новое знание, 2004. - 640 с.

Скамай Л. Г., Трубочкина М. И. Экономический анализ деятельности предприятия. - М.: Инфра-М, 2007.